Интерполяция многомерных функций по значениям в произвольных точках

Проект компании ООО «Роберт Бош»

«Интерполяция многомерных функций по значениям в произвольных точках»

Краткая формулировка задачи
Требуется формализовать математический метод или алгоритм гладкой интерполяции многомерной функции по разреженному набору точек.
Область применения
Рассмотрим моделирование, целью которого является оценка значения крутящего момента электродвигателя системы в зависимости от геометрии системы (расположения и формы магнитов). Наша цель – найти значения геометрических параметров, которые бы максимизировали крутящий момент. При этом, проведение отдельного моделирования для каждого набора параметров крайне затруднительно, поскольку вычислительная сложность возрастает экспоненциально с числом параметров, а иногда вычисление даже одного значения момента может занять несколько дней. По этой причине мы хотим построить удовлетворительное приближение функции на основании лишь небольшого количества вычисленных точек.
Размерность пространства параметров варьируется от 5 до 15.
Ввиду того, моделирование занимает много времени, значения функции известны лишь для небольшого числа точек, которое обычно не превосходит 4n для размерности n (=количество параметров). Так, характерное число известных значений функции для 7 параметров составляет 100.
Гладкость требуемого приближения обусловлена необходимостью последующей минимизации построенной функции.
Постановка задачи

Рассматривается выборка значений гладкой  функции .
Задан набор точек  , такой что точки распределены в некоторой области не равномерно. Заданы также наборы других точек .
Требуется найти аппроксимирующую функцию  такую, что:

  • непрерывна (лучше дифференцируема);
  • наилучшим образом приближает f на  (например, в -метрике);
  • Условие   желательно (но, вообще говоря, не обязательно).
Что предлагает Bosch
Более подробные комментарии о формулировке задачи, а также Matlab-код, генерирующий точки для построения приближения функции и его последующей проверки (оценки ошибки).
Требования Bosch
Документированная реализация метода в виде Matlab-кода с обоснованием того факта, что полученное решение близко к наилучшему приближению, или обоснование того, что прямой подход (приближение гиперплоскостями) даёт наилучшее приближение.
Что считается успешным решением
Задача решена успешно, если представлен документированный алгоритм, который автоматически генерирует  , исходя из заданного набора точек. Кроме того, необходимо обоснование, почему представленное решение является хорошим приближением.
Необходимые навыки
Математическая подготовка, умение реализовать предлагаемую идею на практике (программирование, MATLAB), устный и письменный английский язык для общения с экспертами компании.